Series de Fourier

Series de Fourier

La serie de Fourier es una herramienta matemática poderosa utilizada en análisis de señales y procesamiento de señales.

Fue desarrollada por el matemático francés Joseph Fourier y se utiliza para descomponer funciones periódicas en una combinación de funciones sinusoidales o cosinusoidales. Esta descomposición permite representar una función periódica de manera más sencilla y entender su comportamiento en términos de frecuencias.

• La Serie de Fourier permite aproximar funciones periódicas complejas mediante la suma infinita de senos y cosenos, facilitando el análisis y la manipulación de estas funciones.

Hay unos conocimientos que hay que tener en cuenta antes de trabajar con la serie de Fourier

Funciones periódicas

Una función periódica es aquella que se repite a intervalos regulares. Matemáticamente, una función f(x) se considera periódica si existe un número positivo 𝜌 tal que f( x+𝜌  )=f( x ) para todos los valores de “x” en su dominio.

La función repite su patrón a lo largo de 𝜌. Ejemplos comunes incluyen las funciones seno y coseno, que se repiten con una periodicidad de 2𝜋.

Funciones armónicas

Las funciones armónicas son funciones seno y coseno que forman las componentes básicas de la Serie de Fourier. Una función armónica es de la forma A cos( Bx + C ) o A sin( Bx + C ), donde A es la amplitud, y B es la frecuencia angular y C es la fase. Estas funciones armónicas se combinan para aproximar funciones periódicas más complejas.

Funciones pares e impares

Una función f(x) es par si f ( -x )=f( x ) para todos los valores “x” en su dominio. La función que cumple con esto es la de Coseno:

f( x ) = cos( x )

f( -x ) = cos( -x )= cos( x )

Y una función f(x) es impar cuando f( -x )= -f( x ) para todos los valores de “x” . La funcion que comple con esto es la de Seno:

f( x )= sen( x )

f( -x ) = sin( -x )= -sin( x )

Coeficientes y la serie

La serie de Fourier para una función f(x) con un periodo 𝜌  se expresa como:

Estos coeficientes están definidos por las siguientes integrales:

(𝜌 es lo mismo que L)

Los coeficientes en la Serie de Fourier son los valores que determinan la contribución de cada componente (armónica) en la descomposición de una función periódica en funciones seno y coseno. Estos coeficientes son fundamentales para expresar una función periódica compleja como una suma infinita ponderada de funciones más simples.

Videos

Estos son algunos videos con ejercicios que los pueden ayudar, desde ya agradezco al youtuber "MateFacil" por su contenido

Bibliografía

Derrick, William R. Variable compleja con aplicaciones. Segunda edicion ed., Estados Unidos, Grupo Editorial Iberoamérica, 1984.

“Función periódica.” Wikipedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica.

“Todas identidades y funciones trigonometricas completa | PPT.” SlideShare, 2 December 2013, https://es.slideshare.net/lpilligua0795/todas-identidades-y-funciones-trigonometricas-completa.

Universidad Nacional de la Plata. “MATEMATICAS ESPECIALES II - 2021.” https://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/51_10_0506202111519.pdf.